Parametrikus görbék
Ebben a részben egy kicsit beszélünk arról, hogy mik is azok a parametrikus görbék és a tulajdonságaik. Alapjában véve a parametrikus görbék arról szólnak, hogyan írunk le egy görbe vonalat matematikailag.
A dolog lényege az, hogy a görbét végigjárjuk valamilyen menetrend szerint. És megadjuk, hogy egy adott időpontban mely pontban járunk.
P: (; )
A $(200 \t{cos}(5t); 200 \t{sin}(7t))$ függvény bejárása. Az idő, a $t$, egyenletesen telik a pont pedig változó sebességgel halad a görbén. Ennek a görbének a neve amúgy Lissajous-görbe. (A szimuláció a képen való kattintással indítható.)
Induláskor legyünk egy adott pontban, aztán a következő időpillanatban már egy másik pontban vagyunk és így tovább. Jelöljük $\v x (t)$-vel azt a pontot, ahol egy adott $t$ időpontban vagyunk. Így $\v x(0)$ az a pont, ahonnét indulunk (a görbe eleje). $\v x(1)$ az a pont, ahol az első másodpercben járunk, $\v x(1{,}5)$ az a pont, ahol a 1,5. másodpercben járunk, és így tovább. És ez megy addig, amíg végig nem érünk a görbén.
Ezen a görbén tetszőleges sebességgel végighaladhatunk, mehetünk gyorsan, és mehetünk lassan, ezért végtelen sokféle módon leírható ugyanaz a görbe. Majd egy kicsit később leírok egy módszert, amivel ezt a dolgot valamelyest normalizálni lehet.
A görbén való haladásunk sebessége és a mozgási iránya adja meg az ún. érintővektort, amely a haladásunk sebességvektora is egyben. Matematikailag pedig piciny változások hányadosaként írjuk le. Egy adott pontban vesszük az idő pici változását, szokás szerint jelöljük $\d t$-vel, és a helyünknek a pici változását ez alatt az idő alatt, szokás szerint jelöljük $\d \v x$-szel. A kettő hányadosa, adja meg ezt az érintővektort:
$$ \v v = {\d \v x \over \d t} $$
És ez definíció szerint minden pontban így igaz. Viszont, hogyha egy adott $t$ időpontban mért sebességünkre vagyunk kíváncsiak, azt $\v v(t)$-vel jelöljük.
A $(200 \t{cos}(5t); 200 \t{sin}(7t))$ függvény bejárása. Most a pont mellett a sebessége is látszik. (A szimuláció a képen való kattintással indítható.)
A görbén való végighaladásunk során a sebességünk változik, így megadható a gyorsulásvektorunk miközben haladunk a görbén, a sebességhez hasonló módon a sebesség és az idő pici változásának arányában:
$$ \v a = {\d \v v \over \d t} $$
Egy adott $t$ időpontban való gyorsulást $\v a(t)$-vel jelöljük.
Na most az a tény, hogy a görbén olyan sebességgel haladhatunk végig, amilyennel csak akarunk, problémát jelenthet, mert nem egyértelmű. Ezért ahhoz, hogy egységesen kezeljük a görbéket, szokás a sebességet normalizálni. Azaz egyenletesen végigmenni a görbén 1 egység / időegység alatt (pl. m/s).
Legyen ehhez az egyenletes menetrendhez tartozó paraméter az $s$. Most viszont a feladat az, hogy megtaláljuk azt a függvényt, amely segítségével az út ($s$) segítségével fejezhető ki. Adott az eredeti függvény az $\v x(t)$, amelyben az út $t$-vel van kifejezve. A legkézenfekvőbb átalakítás az lenne, hogy magát a $t$-t számoljuk ki $s$-ből, így az eredeti függvényhez nem kell hozzányúlni. Jelöljük $t(s)$-sel ezt a képletet, amivel a $t$ kiszámolható az $s$-ből. Visszahelyettesítve ezt a $t$ helyére azt kapjuk, hogy $\v x(t(s))$. Ha ezzel az új paraméterrel egyenletesen haladunk az azt jelenti, hogy:
$$ \left| {\d \v x \over \d s}\right| = 1 $$
Azaz a sebességünk hossza 1 lesz, mert ezt szeretnénk. Legyen a $\d s$, pici változás, konstans. A hosszból a konstans szorzótag kiemelhető:
$$ {\left| \d \v x \right| \over \d s} = 1 $$
Azaz a sebességvektor hossza ezen új menetrend szerint mindig 1 kell, hogy legyen. A $\d s$ egy szám, szorozzuk vele mind a két oldalt:
$$ \left| \d \v x \right| = \d s $$
A $\d s$ gyakorlatilag a pici $\d \v x$ görbedarabka hossza. Ha ezeket a hosszakat összegezzük sok pici egymás utáni görbedarabkára (azaz integrálunk), akkor megkapjuk annak a görbének a hosszát, amin ezt összegeztük. Azaz ez az $s$ paraméter nem más, mint a görbe hossza az elejétől számolva az adott pontig. Ha sikerül kitalálni, hogy minek pontosan a pici változása a bal oldal. Akkor meghatározhatjuk, hogy a $t$-t hogyan számolhatjuk ki az $s$-ből.
Ezt egyszerűbb egy példán bemutatni. Egy $r$ sugarú körön pl. a következő módon lehet végighaladni:
$$ \v x = (r \,\text{cos}(t), r \,\text{sin}(t)) $$
A $t$ a szög, ami mentén körbe haladunk. A pici változás, miközben haladunk:
$$ \d \v x = (\d (r \,\text{cos}(t)), \d (r \,\text{sin}(t))) $$
Az $r$ konstans kiemelhető, hisz a kör sugara nem változik miközben megyünk végig vonalon:
$$ \d \v x = (r \d (\text{cos}(t)), r \d (\text{sin}(t))) $$
A függvények pici változása esetén pedig használhatjuk ezt az összefüggést: $\d(f(x)) = {\d(f(x)) \over \d x} \d x$. Ez a tört ugye a derivált, minden függvényhez kikereshető függvénytáblázatból. Koszinusznak mínusz szinusz, szinusznak koszinusz. Szóval:
$$ \d \v x = (- r \,\text{sin}(t) \d t, r \,\text{cos}(t) \d t) = \\ r \d t (- \text{sin}(t), \text{cos}(t)) $$
A $|\d \v x| = \sqrt{\d \v x^2}$. Tehát először önmagával kell ezt a pici vektort szorozni:
$$ \d \v x^2 = \d \v x \cdot \d \v x = r^2 \d t^2 (\text{sin}(t)^2 + \text{cos}(t)^2) = r^2 \d t^2 $$
Aztán gyököt vonni belőle:
$$ \sqrt{\d \v x^2} = r \d t $$
Visszahelyettesítve a kiinduló egyenletbe:
$$ r \d t = \d s $$
A konstans bevihető:
$$ \d \left( r t \right) = \d s $$
Ha két pici változás egyenlő, akkor a két mennyiség is egyenlő, legfeljebb egy konstans különbség van köztük, tehát:
$$ r t = s + C $$
A $C$ egy állandó, amely a kezdeti feltételekből számítható ki. A $t$ nulláról indul. A megtett út, az $s$, is nulláról indul. Nullát behelyettesítve mind a két helyre láthatjuk, hogy $C = 0$ kell, hogy legyen így:
$$ r t = s $$
Ebből pedig kifejezhetjük a $t$-t az $s$-ből:
$$ t = {s \over r} $$
Ezt pedig majd visszahelyettesíthetjük az eredeti egyenletbe:
$$ \v x = \left(r \,\text{cos}\left({s \over r}\right), r \,\text{sin}\left({s \over r}\right) \right) $$
Minél nagyobb sugarú a kör, annál kisebb ütemben kell növelni a szöget. Ezért kell $r$-rel elosztani, és ez csak úgy kijött.
De itt még nem vagyunk készen. Ellenőrizzük, hogy mi jön ki, hogyha deriváljuk ezt a dolgot $s$ szerint:
$$ {\d \v x \over \d s} = \left(-\text{sin}\left({s \over r}\right), \text{cos}\left({s \over r}\right) \right) $$
A négyzete ennek a vektornak:
$$ \left( {\d \v x \over \d s} \right)^2 = \text{sin}\left({s \over r}\right)^2 + \text{cos}\left({s \over r}\right)^2 = 1 $$
Tehát 1 lesz, ahogy kell neki lennie. Deriváljuk meg mégegyszer:
$$ {\d^2 \v x \over \d s^2} = \left(-\text{cos}\left({s \over r}\right){1 \over r}, -\text{sin}\left({s \over r}\right){1 \over r} \right) = \\ {1 \over r}\left(-\text{cos}\left({s \over r}\right), -\text{sin}\left({s \over r}\right)\right) $$
Vizsgáljuk meg a hosszát:
$$ \left( {\d^2 \v x \over \d s^2} \right)^2= \\ {1 \over r^2}\left( \text{cos}\left({s \over r}\right)^2 + \text{sin}\left({s \over r}\right)^2 \right) = \\ {1 \over r^2} $$
Gyökvonás után:
$$ \left| {\d^2 \v x \over \d s^2} \right|= \\ {1 \over r} $$
Ez a $\d^2 \v x \over \d s^2$ vektor az ún. görbületi vektor. Az iránya azt adja meg, hogy merre görbül a görbe, a hossza pedig megadja azt, hogy mennyire. A kör esetén ez a vektor a középpont felé mutat, mert abban az irányban görbül ez az alakzat. A hossza pedig a sugár reciproka, hiszen minél nagyobb a kör, annál kevésbé görbül. Tehát annál rövidebb a vektor.
Ha csak a görbületi vektorra van szükségünk, akkor azt megkapjuk az $s$ kiszámolása nélkül is, ugyanis elkövethetjük ezt a trükköt:
$$ \d s = \left| \d \v x \right| = \\ \left| {\d \v x \over \d t} \d t \right| = \\ \left| \v v \d t \right| = \\ \left| \v v \right| \d t $$
Csábító gondolat lehet, hogy ezt négyzetre emeljük, hogy $\v v^2 \d t^2$-t kapjunk, és a kapott $\d s^2$-et behelyettesítsük a $\d^2 \v x \over \d s^2$-be. De vigyázat, ezt csak akkor tehetjük meg, hogyha a $\d s$ konstans, ugyanis a kétszeri deriválás helyes képlete ez lenne:
$$ {\d \left( {\d \v x \over \d s }\right) \over \d s} $$
Ha a $\d s$ valóban konstans, akkor kihozható a differenciálból, és összevonható, hogy a szokványos alakot kapjuk. De ez feltételezi, hogy van egy olyan képletünk $\v x$-re, amely $s$-sel van kifejezve és megtehetjük, hogy csak egy konstansnyi picit lépünk. Azonban, ha az előző $\d s = \left| \v v \d t\right|$ képletet használjuk, akkor a $\d s$ nem konstans, hisz a pici elmozdulás hatására változhat a sebesség. Tehát ezen előbbi formulára kell hagyatkoznunk, és abba kell behelyettesítenünk:
$$ {\d \left( {\d \v x \over \d s }\right) \over \d s} = \\ {\d \left( {\d \v x \over \left| \v v \right| \d t }\right) \over \left| \v v \right| \d t } $$
Mivel az $\v x$ és a $\v v$ képlete is a $t$-vel van kifejezve, megtehetjük azt, hogy $\d t$ konstansnak választjuk, és ezért kihozhatjuk:
$$ {\d \left( {\d \v x \over \left| \v v \right| }\right) \over \left| \v v \right| \d t^2 } $$
A számlálóban lévő dolgot pedig a hányadosok pici változásának a képlete alapján alakíthatjuk:
$$ \d \left( {\d \v x \over \left| \v v \right| }\right) = \\ {\left| \v v \right| \d^2 \v x - \d \v x \d \left| \v v\right| \over \v |\v v|^2} $$
Összerakva:
$$ \d \left( {\d \v x \over \left| \v v \right| }\right) {1 \over |\v v| \d t^2}= \\ {\left| \v v \right| \d^2 \v x - \d \v x \d \left| \v v\right| \over \v |\v v|^3 \d t^2} = \\ {\left| \v v \right| \d^2 \v x \over \v |\v v|^3 \d t^2} - {\d \v x \d \left| \v v\right| \over \v |\v v|^3 \d t^2} \\ $$
Ebben a kifejezésben ott van az a $\d |\v v|$, amit szintén ki kellene fejezni: A $|\v v| = \sqrt{\v v \cdot \v v}$. Legyen $a = \v v \cdot \v v$. Így $\sqrt{a}$-nak a kicsi változására van szükség:
$$ \d \sqrt{a} = {1 \over 2 \sqrt{a}} \d a $$
A $\d a$-t is számoljuk ki:
$$ \d a = \\ \d \left( \v v \cdot \v v\right) = \\ \v v \cdot \d \v v + \v v \cdot \d \v v = \\ 2 \v v \cdot \d \v v $$
Visszahelyettesítve:
$$ {1 \over 2 \sqrt{a}} \d a = \\ {1 \over 2 \left| \v v \right|} \d a = \\ {1 \over 2 \left| \v v \right|} 2 \v v \cdot \d \v v = \\ {\v v \over \left| \v v \right|} \cdot \d \v v $$
Aztán ezt visszahelyettesítve az eggyel korábbiba:
$$ {\left| \v v \right| \d^2 \v x \over \v |\v v|^3 \d t^2} - {\d x \d \left| \v v\right| \over \v |\v v|^3 \d t^2} = \\ {1 \over \v v^2}{\d^2 \v x \over \d t^2} - {\d x \left( \v v \cdot \d \v v\right) \over \v |\v v|^4 \d t^2} \label{curvature} $$
Mit ad ez nekünk a kör esetén? Először számoljuk ki a $\v v \cdot \d \v v$-t. Korábbról már ismerjük a $\d \v x$-et, majd abból:
$$ \v v = {\d \v x \over \d t} = {r \d t (- \text{sin}(t), \text{cos}(t)) \over \d t} = r (- \text{sin}(t), \text{cos}(t)) $$
A pici változása neki:
$$ \d \v v = \\ \d \left( r (- \text{sin}(t), \text{cos}(t)) \right) = \\ r \d \left( (- \text{sin}(t), \text{cos}(t)) \right) = \\ r \left( - \d \text{sin}(t), \d \text{cos}(t) \right) = \\ r \left( - \text{cos}(t) \d t, - \text{sin}(t) \d t\right) = \\ r \d t \left( - \text{cos}(t), - \text{sin}(t) \right) \\ $$
A belső szorzatuk pedig:
$$ \v v \cdot \d \v v = \\ \left(r (- \text{sin}(t), \text{cos}(t))\right) \cdot \left( r \d t \left( - \text{cos}(t), - \text{sin}(t) \right) \right) = \\ r^2 \d t \left( - \text{sin}(t), \text{cos}(t) \right) \cdot \left( - \text{cos}(t), - \text{sin}(t) \right) = \\ r^2 \d t \left(\t{sin}(t) \t{cos}(t) - \t{sin}(t) \t{cos}(t) \right) = \\ 0 $$
Tehát az jött ki, hogy kör esetén a $\v v \cdot \d \v v$ értéke 0 lesz. Mivel a nullával való szorzás eredménye 0, ezért a teljes jobb oldali tag kiesik a $\eqref{curvature}$ egyenletünkben. Csak a bal oldali ${1 \over \v v^2}{\d^2 \v x \over \d t^2}$ tag marad.
Tehát a görbületi vektor képlete kör esetén:
$$ {\d^2 \v x \over \v v^2 \d t^2} $$
Helyettesítsünk be! Először a $\d^2 \v x$-et kell kiszámolni, azaz venni a $\d \v x$ pici változását még egyszer:
$$ \d^2 \v x = \d \d \v x = \d \left( r \d t (- \t{sin}(t), \t{cos}(t)) \right) = \\ r \d t \d \left( -\t{sin}(t),\t{cos}(t) \right) = \\ r \d t \left( -\d (\t{sin}(t) ),\d (\t{cos}(t)) \right) = \\ r \d t \left( - \t{cos}(t) \d t, - \t{sin}(t) \d t \right) = \\ r \d t^2 \left( - \t{cos}(t), - \t{sin}(t) \right) \\ $$
A sebesség pedig:
$$ \v v = {\d \v x \over \d t} = \\ {r \d t (- \t{sin}(t), \t{cos}(t)) \over \d t} = r (- \t{sin}(t), \t{cos}(t)) $$
A négyzete a sebességnek:
$$ \v v^2 = \left( r (- \t{sin}(t), \t{cos}(t)) \right)^2 = \\ r^2 \left( - \t{sin}(t), \t{cos}(t) \right)^2 = \\ r^2 \left(\t{sin}(t)^2 + \t{cos}(t)^2 \right) = r^2 $$
Összerakva:
$$ {\d^2 \v x \over \v v^2 \d t^2} = \\ {r \d t^2 \left( - \t{cos}(t), - \t{sin}(t) \right) \over r^2 \d t^2} = \\ {\left( - \t{cos}(t), - \t{sin}(t) \right) \over r}\\ $$
Ennek a vektornak az iránya az origó felé mutat, mert abba az irányba görbül a kör, a hossza pedig a sugár reciproka, akárcsak a korábbi esetben.
Az alábbi szimulációban a sebesség és a görbületi vektor is látszik Lissajous-görbék esetén. Ott nem esik ki a jobb oldali tag, így ott azzal is számolni kell:
A $(200 \t{cos}(5t); 200 \t{sin}(7t))$ függvény bejárása. Most a pont mellett a sebessége és az adott pontban a görbületi vektora is látszik. Ahol a görbe nagyon görbül, ott egy hosszú kék vektor látható.
Ezt a kis összefoglalót csak azért írtam le, hogy nagyjából képbe legyünk, amikor a speciális és az általános relativitásról van szó. Ugyanis ott ezeknek a dolgoknak konkrét fizikai hatásai vannak. Relativitásban a világvonal görbületi vektora határozza meg az azt rajzoló tárgynak a gyorsulását.
